Kurvendiskussion

Diese Übersicht einer Kurvendiskussion beinhaltet: Symmetrie, Ableitungen, Schnittpunkte mit der y und x-Achse, Extremstellen, Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Tangente, Normale und Darstellung.

Symmetrie

PUNKTSYMMETRIE ACHSENSYMMETRIE
Jede ungerade Funktion ist Punktsymmetrisch es kommen nur ungerade Exponenten vor. zum Beispiel: ƒ f(x) = 5x5 – 9x7 – 7x Jede gerade Funktion ist achsensymmetrisch. Das absolute Glied a0 ist wie alle anderen Exponenten gerade. zum Beispiel: f(x) = 6x4 – 4x2 – 7

[Beispielaufgabe]

Überprüfung auf Punktsymmetrie… Überprüfung auf Achsensymmetrie…

erste, zweite und dritte Ableitung

Leiten wir eine Funktion ab erhalten wir f’(x) (eff Strich von iks) oder y’ (üpsilon Strich), leitet man f’(x) bzw. y’ ab erhält man f”(x) (eff zwei-Strich von iks) oder y” (üpsilon zwei-Strich). Die Striche bzw. dessen Anzahl zeigt auf um die wievielte Ableitung es sich handelt. Das nachfolgende Beispiel zeigt den Weg bist zur dritten Ableitung.

[Beispielaufgabe]

Nullstellen oder Schnittpunkte mit den Achsen

Der Funktion wird x=0 zugewiesen und ergibt somit den Schnittpunkt mit der y-Achse.

[Beispielaufgabe]

Die erste Nullstelle wird bei Funktionen 3. Grades erraten – man kann die Funktion auch in den Taschenrechner tippen, dieser sollte ebenso zufriedenstellende Ergebnisse liefern. Aber nun ohne Taschenrechner… im Beispiel sieht man eine Funktion in der x nur mit Termen vorkommt, also kann man die erste Nullstelle ohne großes herum rätseln mit 0 bestimmen denn wir erhalten 0 = 0 wenn wir x = 0 setzen.

Funktionen 3. Grades haben maximal drei Nullstellen, also könnten uns unter Umständen noch zwei fehlen. Wir haben nun die Möglichkeiten via Polynomdivision oder indem wir x ausklammern Weiterzurechnen.

POLYNOMDIVISION AUSKLAMMERN

Nach dem Ausklammern oder auch nach der Polynomdivision erhalten wir das gleiche Ergebnis, nun kann man mit der pq-Formel weiter rechnen.

Monotonie einer Funktion

Monoton fallende Funktionen besitzen einen negativen Anstieg f’(x) < 0. Monoton steigende Funktionen hingegen einen positiven Anstieg f’(x) > 0. Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt immer den Anstieg der Funktion.

Extrema

Notwendige Bedingung → eine Funktion f sei an einer Stelle XE differenzierbar. Dann gilt: wenn bei XE ein lokales Extremum von f liegt dann ist f’(x) = 0.

Hinreichende Bedingung → eine Funktion f sei an der Stelle XE zweimal differenzierbar. Dann gilt: Ist f’(XE) = 0 und f”(XE) < 0 dann ist f(XE) ein lokales Maximum. Ist f’(XE) = 0 und f”(XE) > 0 dann ist f(XE) ein lokales Minimum.

Wendestellen

Notwendige BedingungXW ist eine Wendestelle, dann ist f”(X) = 0.

Hinreichende Bedingung → ist f”(XW) = 0 und f”’(XW) ≠ 0 dann ist XW eine Wendestelle.

Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist eine besondere Wendestelle mit waagerechter Wendetangente. Somit ist der Anstieg im Punkt XS bzw. die erste Ableitung f’(XS) = 0.

Verhalten im Unendlichen

Die höchste Potenz (xn) und das Vorzeichen vor dessen Faktor ist ausschlaggebend für das Verhalten im unendlichen. Gesprochen wäre dies limes von iks gegen ±Unendlich.

So ist n von xn die höchste Potenz und an der Faktor vor der höchsten Potenz.