Ableitungsregeln

Die allgemeinen Ableitungsregeln sind vereinfachende Regeln zur Ableitung von Funktionen – ohne dass wir den Differentialquotienten bilden müssen.

Die Potenzregel

Die Potenzregel dient der Ableitung von Potenzfunktionen und lautet

Das Ergebnis:

In textform heisst es dann, der Exponent wandert als Faktor vor das x, also multiplizieren wir x erstmal mit seinem Exponenten anschliessend ziehen wir vom stehengebliebenen Exponenten eins ab.

Die Faktorregel

Die Faktorregel besagt, dass beim Differenzieren ein Konstanter Faktor C erhalten bleibt. Man kann also konstante Faktoren vor dem Differenzieren vorziehen.

Für   gilt

[der Beweis]

Man nehme die Grundformel zur Berechnung des Differentialquotienten. Für f(x) setzen wir C · ux ein, klammern anschliessend C aus und bilden den Grenzwert

Die Summenregel

Sie besagt wie man verfährt wenn man zwei oder mehr Funktionen miteinander multipliziert. Will man zum Beispiel folgende Funktion ableiten

somit ergibt die erste Ableitung

[ein Beispiel]

Gegeben ist diese Funktion:

Der Übersicht und Einfachheit halber zerlegen wir die Funktion in u und v.

Dies setzen wir nun in unsere Ausgangsfunktion ein

so bekommen wir nun folgende Funktion

heraus kommt das hier

Ableitung von Wurzel X

Am einfachsten ausgedrückt bedeutet

nichts weiter als dieses hier

Nun gehen wir strikt nach der Potenzregel vor, der Exponent wandert als Faktor vor das x und vom Exponenten wird eins abgezogen. Somit ergibt die erste Ableitung dies

oder

Die zweite Ableitung wieder strikt nach der Potenzregel, also kommt heraus hier ausführlich

hier die verkürzte Variante der zweiten Ableitung

oder