Grenzwerte von ZF

Zahlenfolgen, Schranken, Kon- und divergent

  1      2       3       4       5       6       7      
0 0,5 0,67 0,75 0,8 0,83 0,86
2 1,5 1,3 1,25 1,2 1,17 1,14
0 1,5 0,67 1,25 0,8 1,17 0,86
0 0,5 -0,67 0,75 -0,8 0,83 -0,86

Der Bereich, der von gestrichelten Linien umrahmt wird ist die ε-Umgebung.

1. Monoton steigend

grenzwerte_von_zahlenfolgen_an1Die Zahlenfolge ist nach oben und unten beschränkt und ist monoton steigend. (S=Schranke – oben/unten)
So = 1 … Su = 0

Konvergent

2. Monoton fallend

grenzwerte_von_zahlenfolgen_an2

Die Zahlenfolge ist nach oben und unten beschränkt und ist monoton fallend.
So = 2 … Su = 1

Konvergent

3. Nicht monoton

grenzwerte_von_zahlenfolgen_an3Die Zahlenfolge ist nicht monoton, sie ist beschränkt nach oben und unten.
So = 2 … Su = 0

Konvergent

4. Nicht monoton

grenzwerte_von_zahlenfolgen_an4Die Zahlenfolge ist nicht monoton, sie ist beschränkt nach oben und unten.
So = 1 … Su = 1

Divergent Da nicht fast alle Werte innerhalb einer ε-Umgebung liegen.

Die ε-Umgebung

Ist a eine beliebige reelle Zahl, und ε eine beliebige positive reelle Zahl, so nennt man das offene Interval ]a-ε; a+ε[ die ε-Umgebebung von a.

Zahlenstrahl -----------(----+----)-------->
                       a-ε   a   a+ε

zum Beispiel: 4,9 < x < 5,1

Zahlenstrahl -----------(----+----)-------->
                       4,9   x   5,1

Es sei, an eine Zahlenfolge und g eine Zahl, g ist Grenzwert von an. Wenn bei jedem positiven ε für fast alle n gilt: an liegt in der ε-Umgebung von g.

Hat eine Zahlenfolge einen Grenzwert g so heisst sie konvergent. Man sagt sie konvergiert gegen g. Hat eine Zahlenfolge keinen Grenzwert heisst sie divergent.

[Beispielaufgaben]

Zahlenfolgen die den Grenzwert Null haben heissen Nullfolgen.

[Beispielaufgaben]