Anstieg einer Kurve

Der mittere Anstieg einer Funktion ist der Anstieg einer Sekante. Die Sekante ist eine Gerade die eine Kurve in zwei Punkten schneidet. Legt man den zweiten Punkt (x0+h) näher an den ersten (x0), so wird die Steigung die wir am ersten Punkt ermitteln wollen immer genauer. Durch Wiederholen der Annäherung erhalten wir eine Tangente die den Graphen nur noch im ersten Punkt berührt, die Steigung dieser Tangente entspricht somit der Steigung am ersten Punkt.

anstieg_einer_kurve_in_einem_punkt1

d bezeichnet den Differenzenquotienten. Den Grenzwert eines Differenzenquotienten bezeichnet man als Diffentialquotient. Somit entspricht der Diffentialquotient dem Anstieg der Funktion an der Stelle x0 also dem Anstieg der Tangente an der Stelle x0.

Der Differentialquotient

anstieg_einer_kurve_in_einem_punkt2

ist die erste Ableitung der Funtion f an der Stelle x0.

[Beispielaufgaben]

Gegeben ist der Punkt P(-3|9) somit ergibt der mittlere Anstieg:

So wäre die erste Ableitung der Funktion

ausführlich dargestellt,  wie folgt

die erste Ableitung der Funktion

würde das ergeben